MA9 Jakso 1: Funktio

Potenssimerkinnän avulla voidaan lyhentää kertolaskua, missä sama luku esiintyy tulon tekijänä useamman kerran. Potenssimerkinnässä tulon tekijän oikeaan yläkulmaan kirjoitetaan luku, joka kertoo kuinka monta kertaa tekijä kertolaskussa esiintyy. Esimerkiksi

\(\mathsf{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4}\)

Tulon tekijää (2) kutsutaan kantaluvuksi, ja yläkulmassa olevaa lukua (4) kutsutaan eksponentiksi. Kyseinen merkintä sanottaisiin "Kaksi potenssiin neljä", "Kaksi neljänteen" tai "Kaksi korotettuna neljänteen potenssiin".

Potenssin arvoa laskettaessa potenssimerkintä voidaan kirjoittaa ensin kertolaskuna, ja laskea kertolasku normaalisti tämän jälkeen.

Kuten yllä olevasta esimerkistä huomataan, niin kantaluku voi olla myös negatiivinen. Negatiivinen kantaluku tulee kirjoittaa sulkeiden sisään. Jos sulkeita ei merkitä, potenssi ei vaikuta miinusmerkkiin, vaan miinusmerkki pysyy potenssin arvon edessä.

Juurilaskut ovat potenssien käänteisiä laskutoimituksia. Nyt keskitytään toiseen potenssiin korottamisen käänteiseen laskutoimitukseen eli neliöjuureen.

Neliöjuuren merkintänä käytetään erityistä juuri-merkkiä \(\sqrt{\rule{1em}{0pt}\rule{0pt}{1em}}\). Merkin alla olevaa lukua kutsutaan juurrettavaksi. Neliöjuuri vastaa siis kysymykseen "Mikä luku on kerrottu itsellään, että saadaan vastaukseksi juurrettava?".

Yleisesti luvun \(\mathsf{x}\) neliöjuuri \(\mathsf{\sqrt{x} = a}\) on siis ei-negatiivinen luku, joka itsellään kerrottuna on luku \(\mathsf{x}\).

Termi on kertoimen ja muuttujaosan tulo. Kerroin on luku, ja muuttujaosassa on nimensä mukaisesti muuttuja. Muuttuja voi olla korotettuna potenssiin, jolloin sen eksponenttia kutsutaan termin asteeksi.

Termejä luokitellaan niiden asteen mukaan, eli esimerkiksi \(\mathsf{6x^3}\) on kolmannen asteen termi, \(\mathsf{-7x^5}\) on viidennen asteen termi jne.

Huomaathan erityisesti seuraavien termien asteet:

• Termin \(\mathsf{5x}\) aste on 1, sillä \(\mathsf{5x = 5x^1}\).
• Vakiotermin \(\mathsf{-2}\) aste on 0, sillä \(\mathsf{-2 = -2x^0}\).

Termit ovat samanmuotoisia, jos niillä on täsmälleen sama muuttujaosa, eli siis sama muuttuja sekä aste. Vain samanmuotoisia termejä voidaan laskea yhteen ja vähentää toisistaan.

Termien kerto- ja jakolaskussa kertoimet kerrotaan (jaetaan) erikseen ja muuttujaosat erikseen.

Termillä voidaan kertoa myös kokonaista polynomia. Kertolasku kohdistuu kaikkiin polynomin termeihin.

Jos muuttujan arvo tunnettaan, voidaan polynomin arvo laskea sijoittamalla arvo lausekkeeseen muuttujan paikalle.

Sijoitettaessa negatiivista lukua muuttujan paikalle, tulee luku kirjoittaa sulkeiden sisään.

Koordinaatisto koostuu x- ja y-akselista. Paikkaa koordinaatistossa kuvataan pisteellä, jonka koordinaatit kuvaavat sijaintia koordinaatistossa x- ja y-koordinaattien avulla.

Lukujono on järjestykseen asetettujen lukujen luettelo. Yksittäistä lukua kutsutaan jonon jäseneksi. Jokaisella jäsenellä on oma järjestysnumeronsa, jota merkitään usein muuttujalla \(\mathsf{n}\).

Lukujonon sääntö voidaan muodostaa kahdella eri tavalla:

1. Ilmoittamalla lukujonon ensimmäinen jäsen sekä laskutoimitus, jolla seuraava jäsen lasketaan. (Sanallinen)
   
   
2. muuttujalauseke, jolla voidaan laskea lukujonon järjestykseltään \(\mathsf{n}\):s jäsen. (Lauseke)

Lausekkeena annetun säännön hyöty on siinä, että lukujonon jäseniä voi laskea vapaasti, eikä edellistä jäsentä tarvitse tietää.

Yhtälön ratkaisu voidaan myös etsiä muokkaamalla yhtälöä suorittamalla laskutoimituksia yhtälön molemmille puolille. Laskutoimitukset merkitään muokattavan rivin oikealle puolelle \(\mathsf{\|}\)-merkkien jälkeen.

Toisen asteen yhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä, jossa esiintyy termejä, joiden aste on 2. Toisin sanoen muuttuja (esim. x) on korotettu toiseen potenssiin (neliö). Toisen asteen yhtälöitä ovat esimerkiksi:

Yhtälön ratkaisemisessa käytetään aina käänteisiä laskutoimituksia puolittain, jotta muuttuja saadaan jäämään yksin toiselle puolelle yhtälöä. Toiseen potenssiin korottamiselle eli neliölle vastakkainen laskutoimitus on tietenkin neliöjuuri.

Laskujärjestys sanoo, että potenssit ja neliöjuuret lasketaan ennen kerto- ja jakolaskuja tai yhteen- ja vähennyslaskuja. Koska yhtälönratkaisussa toimitaan aina käänteisesti myös laskujärjestyksen suhteen, suoritetaan kaikki muut ratkaisun vaiheet ennen neliöjuuren ottamista puolittain.

Sijoittamalla funktion lausekkeeseen jokin muuttujan arvo, saadaan laskettua funktion arvo. Tällöin myös funktion merkinnässä muuttuja korvataan muuttujan arvolla.

Jos kysytään, millä muuttujan arvolla funktio saa tietyn arvon, tarvitaan yhtälönratkaisua.

Lineaarisen funktion kuvaajan eli suoran piirtämiseksi taulukoidaan vähintään kolme muuttujan arvoa, ja lasketaan niitä vastaavat funktion arvot.

Jos funktion lauseke on 2. asteen polynomi, sen kuvaaja ei ole suora vaan paraabeli. Paraabeli on käyrä, joten pisteitä kannattaa valita useita.

Esimerkki: Piirrä funktion \(\mathsf{g(x) = x^2}\) kuvaaja.

Kulmakerroin kertoo suoran kaltevuuden. Mittayksikkönä voidaan ajatella käytettävän y-akselin suuntaista muutosta, kun x-koordinaatin suuruus kasvaa yhdellä. Toisin sanoen, piirretään suoralle (mihin tahansa) piste, liikutaan yhden verran oikealle, ja lasketaan kuinka paljon tulee siirtyä ylös (tai alas), jotta päästään takaisin suoralle. Alla oleva kuva havainnollistaa kulmakertoimen \(\mathsf{k}\) määrittämistä suoran kuvaajasta.

Tarkalleen ottaen kulmakerroin määritellään y-akselin suuntaisen siirtymän \(\mathsf{\Delta y}\) ja x-akselin suuntaisen siirtymän \(\mathsf{\Delta x}\) osamääränä. Alla olevasta kuvassa on esimerkkinä kulmakertoimen \(\textsf{k}\) määrittäminen tällä tavoin.

Jos kulmakerroin on positiivinen, sanotaan että suora on nouseva. Vastaavasti kulmakertoimen ollessa negatiivinen, suora on laskeva.

Vakiotermi kertoo suoran ja y-akselin leikkauskohdan. Toisin sanoen vakiotermi on suoran ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti, sillä x-koordinaattihan on tällöin aina 0. Vakiotermiä muuttamalla voidaan siis muuttaa suoran sijaintia y-akselin suunnassa. Alla olevassa kuvassa on esitetty yhdensuuntaisia suoria, joiden vakiotermi on eri.

Funktion nollakohta eli juuri tarkoittaa muuttujan arvoa, jolla funktion arvo on nolla. Nollakohtia voi olla yksi, useampi tai ei yhtään. Funktion nollakohtien ratkaiseminen on suuressa roolissa peruskoulun jälkeisissä opinnoissa, kun funktioita aletaan analysoida tarkemmin. Se antaa myöskin uuden työkalun vaikeampien yhtälöiden ja funktoiden ratkaisemiseen, jolloin ongelmaa voidaan rajata nollakohtien avulla. Peruskoulussa funktion nollakohdan ratkaiseminen toimii monipuolisena harjoituksena ja vahvistaa ymmärrystä opiskeltavasta asiasta.

Esimerkki: Ratkaise funktion \(\mathsf{f(x) = 2x - 4}\) nollakohta.

Graafinen ratkaisu: Piirretään funktion kuvaaja, ja etsitään kuvaajan ja x-akselin leikkauskohta.

Algebrallinen ratkaisu: Etsitään muuttujan x arvo, jolla funktio saa arvon 0, eli muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö \(\mathsf{f(x) = 0}\).

\(\begin{align}\mathsf{f(x)} &= \mathsf{0}\\ \mathsf{2x-4} &= \mathsf{0} &&\mathsf{\| +4}\\ \mathsf{2x} &= \mathsf{4} &&\mathsf{\| :2}\\ \mathsf{x} &= \mathsf{2}\end{align}\)

Vastaus: Funktion nollakohta on x = 2.

"Onko piste funktion kuvaajalla?" -tehtävä voidaan ajatella myös muodossa "Toteuttaako lukupari funktion säännön?" Tätä tietoa voidaan käyttää esimerkiksi funktion säännön tutkimisessa, monimutkaisten funktioiden analysoinnissa tai tietokonegrafiikassa valonsäteiden mallinnuksessa.

Esimerkki: Onko piste \(\mathsf{(1, -3)}\) funktion \(\mathsf{f(x)=x^2-5}\) kuvaajalla?

Graafinen ratkaisu: Piirretään funktion kuvaaja ja piste samaan koordinaatistoon, ja katsotaan onko piste kuvaajalla.

Algebrallinen ratkaisu: Lasketaan funktion arvo pisteen x-koordinaatin arvolla ja verrataan funktion arvo y-koordinaatin arvoon.

\(\begin{align}\mathsf{f(x)} &= \mathsf{x^2-5}\\ \mathsf{f(1)} &= \mathsf{1^2-5}\\ &= \mathsf{1-5}\\ &= \mathsf{-4}\end{align}\)

Vastaus: Piste (1, -3) ei ole funktion f kuvaajalla.

Kuvaajien leikkaupisteen etsiminen voidaan ajatella graafisena yhtälön ratkaisemisena. Yhtälön molempien puolien lausekkeet piirretään koordinaatistoon ja leikkauspisteen x-koordinaatti on yhtälön ratkaisu. Toisaalta leikkauspisteen y-koordinaatti kertoo leikkauspisteestä saatavan yhteisen funktion arvon. Myöhemmin 9. luokalla tätä menetelmää käytetään yhtälöparien ratkaisemiseen. Muistutuksena jälleen, että graafinen ratkaisu antaa usein epätarkan arvon, jonka avulla voidaan toki tarkistalla algebrallisella menetelmällä saadun ratkaisun järkevyyttä.

Esimerkki: Missä pisteessä funktioiden \(\mathsf{f(x)=2x+2}\) ja \(\mathsf{g(x)=x-1}\) kuvaajat leikkaavat toisensa?

Graafinen ratkaisu: Piirretään funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon, ja katsotaan missä pisteessä kuvaajat leikkavat.

Algebrallinen ratkaisu: Merkitään funktioiden lausekkeet yhtä suuriksi ja ratkaistaan muodostuneesta yhtälöstä x. Ratkaistaan leikkauspisteen y-koordinaatti tämän jälkeen laskemalla toisen funktion arvo saadulla muuttujan x arvolla.

Ratkaistaan x-koordinaatti:

\(\begin{align}\mathsf{f(x)} &= \mathsf{g(x)}\\ \mathsf{2x+2} &= \mathsf{x-1} &\|\mathsf{-x}\\ \mathsf{x+2} &= \mathsf{-1} &\|\mathsf{-2}\\ \mathsf{x}&= \mathsf{-3}\end{align}\)

Ratkaistaan y-koordinaatti:

\(\mathsf{y = g(-3) = -3-1 = -4}\)

Vastaus: Funktiot leikkaavat pisteessä \(\mathsf{(-3,-4)}\).