MA8 Jakso 3: Verrannollisuus
1. Kertausta
Yhtälön ratkaiseminen
Yhtälön ratkaisu voidaan myös etsiä muokkaamalla yhtälöä suorittamalla laskutoimituksia yhtälön molemmille puolille. Laskutoimitukset merkitään muokattavan rivin oikealle puolelle \(\mathsf{\|}\)-merkkien jälkeen.
Esimerkki:
a) Ratkaise yhtälö \(\mathsf{3x = -12}\)
\(\begin{align}\mathsf{3x} &= \mathsf{-12} && \mathsf{\|:3}\\\mathsf{x} &= \mathsf{-4}\end{align}\)
b) Ratkaise yhtälö \(\mathsf{2x + 3 = 7}\)
\(\begin{align}\mathsf{2x + 3} &= \mathsf{7} && \mathsf{\|-3}\\\mathsf{2x} &= \mathsf{4} &&\mathsf{\|:2}\\\mathsf{x} &= \mathsf{2}\end{align}\)
c) Ratkaise yhtälö \(\mathsf{6x = -2x + 32}\)
\(\begin{align}\mathsf{6x} &= \mathsf{-2x + 32} && \mathsf{\|+2x}\\\mathsf{8x} &= \mathsf{32}&&\mathsf{\|:8}\\\mathsf{x} &= \mathsf{4}\end{align}\)
d) Ratkaise yhtälö \(\mathsf{5x + 6 = 2x - 9}\)
\(\begin{align}\mathsf{5x + 6} &= \mathsf{2x-9} && \mathsf{\|-2x}\\\mathsf{3x + 6} &= \mathsf{-9}&&\mathsf{\|-6}\\\mathsf{3x} &= \mathsf{-15}&&\mathsf{\|:3}\\\mathsf{x} &= \mathsf{-5}\end{align}\)
Murtoyhtälö
Jos muuttujaa on jaettu luvulla, päästään jakajasta eroon kertolaskulla.
Esimerkki:
a) Ratkaise yhtälö \(\mathsf{\dfrac{x}{4} = 8}\)
\(\begin{align}\mathsf{\dfrac{x}{4}} &= \mathsf{8} &&\mathsf{\|\cdot 4}\\ \mathsf{x} &= \mathsf{32}\end{align}\)
b) Ratkaise yhtälö \(\mathsf{\dfrac{3x}{5} = 6}\)
Tapa 1: Toimii aina.
\(\begin{align}\mathsf{\dfrac{3x}{5}} &= \mathsf{6} &&\mathsf{\|\cdot 5}\\ \mathsf{3x} &= \mathsf{30} &&\mathsf{\|:3}\\ \mathsf{x} &= \mathsf{10}\end{align}\)
Tapa 2: Helpommat luvut, jos yhtälön oikea puoli on jaollinen osoittajan kertoimella.
\(\begin{align}\mathsf{\dfrac{3x}{5}} &= \mathsf{6} &&\mathsf{\|:3}\\ \mathsf{\dfrac{x}{5}} &= \mathsf{2} &&\mathsf{\|\cdot 5}\\ \mathsf{x} &= \mathsf{10}\end{align}\)
Yhtälön ratkaisun tutkiminen
Yhtälö on matemaattinen merkintä, missä kaksi lauseketta on merkitty yhtä suuriksi.
\(\mathsf{2x + 1 = 45}\)
Yhtälön paikkansapitävyyttä jollakin muuttujan x arvolla voidaan tutkia sijoittamalla muuttujan x paikalle tarkasteltava luku.
Esimerkki: Onko \(\mathsf{x = 20}\) yhtälön \(\mathsf{2x + 1 = 45}\) ratkaisu?
\(\begin{align}\mathsf{2x + 1} &= \mathsf{45}\\\mathsf{2 \cdot 20 + 1} &= \mathsf{45}\\\mathsf{41} &= \mathsf{45}\end{align}\)
Väite on epätosi.
Vastaus: x = 20 ei ole yhtälön ratkaisu.
Lisätietoa: Luvun ja muuttujalausekkeen tulo
Muuttujalauseketta kerrottaessa luvulla, kertolasku kohdistuu kaikkiin muuttujalausekkeen termeihin.
Esimerkki:
a) Sievennä \(\mathsf{4 \cdot (2x+3)}\)
\(\begin{align}\mathsf{4 \cdot (2x + 3)} &= \mathsf{\color{gray}4 \cdot 2x + 4 \cdot 3}\\ &= \mathsf{8x + 12}\end{align}\)
b) Sievennä \(\mathsf{-2 \cdot (6x-5)}\)
\(\begin{align}\mathsf{-2 \cdot (6x - 5)} &= \mathsf{\color{gray}-2 \cdot 6x - 2 \cdot (-5)}\\ &= \mathsf{-12x + 10}\end{align}\)
c) Sievennä \(\mathsf{3 \cdot (-7x+1)}\)
\(\begin{align}\mathsf{3 \cdot (-7x + 1)} &= \mathsf{\color{gray}3 \cdot (-7x) + 3 \cdot 1}\\ &= \mathsf{-21x + 3}\end{align}\)
Välivaihetta (harmaalla) ei tarvitse merkitä näkyviin.
2. Suhde
Kahden luvun tai mittaustuloksen välistä suhdetta käytetään kuvaamaan
- jonkin kokonaisuuden jakamista erisuuriin osiin
- suurennosten ja pienennösten mittakaavan ilmaisemisessa tai
- erilaisten aineiden sekoitussuhdetta
Tässä jaksossa suhde esitellään lähinnä verrannon määrittelemistä varten, mutta suhteen ymmärtämiseksi tutustutaan myös kokonaisuuden jakamiseen suhteessa sekä erilaisiin käytännön suhdelukuihin, joita arkielämässä voi tulla vastaan.
Suhteen merkitseminen ja suhdeluku
Suhdetta merkitään joko murtolukumerkinnällä tai kaksoispistemerkinnällä. Esimerkiksi lukujen 2 ja 3 suhde merkitään
\(\mathsf{\dfrac{2}{3}}\qquad\) tai \(\qquad\mathsf{2:3}\)
Merkintä sanotaan "kahden suhde kolmeen". Murtolukumerkintänä suhde voi aiheuttaa sekaannusta, joten on tärkeätä ymmärtää, että suhteen avulla verrataan kahden osan välistä suhdetta tosiinsa eikä osaa jostain kokonaisuudesta.
Suhde on myös jakolasku, jonka arvo voidaan laskea. Tätä arvoa kutsutaan suhdeluvuksi.
Esimerkki: Älypuhelimen leveyden ja korkeuden suhde on \(\mathsf{\dfrac{\text{72 mm}}{\text{160 mm}}}\). Merkitse suhde supistettuna murtolukuna, kaksoispistemerkintänä ja laske suhdeluku.
Supistettu murtoluku: \(\require{cancel}\mathsf{\dfrac{72\;\cancel{mm}}{160\;\cancel{mm}}^{(8} \!\!= \dfrac{9}{20}}\)
Kaksoispistemerkintä: \(\mathsf{9 : 20}\)
Suhdeluku: \(\mathsf{\dfrac{9}{20} = \text{0,45}}\)
Vastaus: \(\mathsf{\dfrac{9}{20} = 9 : 20 = \text{0,45}}\)
Esimerkkejä suhdelaskuista
Esimerkki: 8 metriä pitkä lauta jaetaan kahteen osaan suhteessa 1:3. Kuinka pitkiä osat ovat? Ilmoita vastaus pituuksien suhteena.
Osia yhteensä: \(\mathsf{1+3 = 4}\)
Yhden osan pituus: \(\mathsf{\dfrac{8\:m}{4} = 2\:m}\)
Kolmen osan pituus: \(\mathsf{3 \cdot 2\:m = 6\:m}\)
Vastaus: Osat ovat 2 metriä ja 6 metriä pitkiä, eli lauta on jaettu suhteessa \(\mathsf{2\:m : 6\:m}\).
Esimerkki: Tiivistemehun sekoitussuhde on 1:5, joka tarkoittaa, että valmiiseen mehuun tulee 1 osa tiivistettä ja 5 osaa vettä.
a) Kuinka paljon valmista mehua saadaan, kun tiivistettä on 0,5 litraa?
Tiivistettä (yksi osa): \(\mathsf{0,\!5\:\mathcal{l}}\)
Vettä (viisi osaa): \(\mathsf{5 \cdot 0,\!5\:\mathcal{l} = 2,\!5\:\mathcal{l}}\)
Valmista mehua (tiiviste + vesi): \(\mathsf{0,\!5\:\mathcal{l} + 2,\!5\:\mathcal{l} = 3,\!0\:\mathcal{l}}\)
Vastaus: Valmista mehua saadaan 3 litraa.
b) Kuinka paljon tiivistettä ja vettä tarvitaan, jos valmista mehua halutaan saada 42 litraa?
Osia yhteensä: \(\mathsf{1+5 = 6}\)
Tiviistettä (yksi osa): \(\mathsf{\dfrac{42\:\mathcal{l}}{6} = 7\:\mathcal{l}}\)
Vettä (viisi osaa): \(\mathsf{5 \cdot 7\:\mathcal{l} = 35\:\mathcal{l}}\)
Vastaus: Tiivistettä tarvitaan 7 litraa ja vettä 35 litraa.
3. Verranto
Verrannolla tarkoitetaan yhtälöä, jossa kaksi suhdetta on merkitty yhtä suuriksi. Verrantojen avulla voidaan ratkaista monenlaisia ongelmia, joissa tapahtuu suoraviivaista muutosta tai vertailua. Esimerkiksi prosenttilaskuja voidaan laskea verrantojen avulla.
Verranto
Verrannossa suhdeluvut merkitään käyttäen murtolukumerkintää. Esimerkiksi
\(\mathsf{\dfrac{6}{15} = \dfrac{4}{10}}\)
Yhtälön paikkansapitävyys voidaan tarkistaa esimerkiksi supistamalla murtoluvut samannimisiksi ja vertailemalla osoittajia. Verrannoille pätee myös seuraava sääntö:
\(\mathsf{\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \qquad\rightarrow\qquad a \cdot d = b \cdot c}\)
Tätä sääntöä hyväksi käyttäen voidaan tarkistaa verrannon osoittaman yhtälön paikkansapitävyys.
Esimerkki: Onko yhtälö \(\mathsf{\dfrac{6}{15} = \dfrac{4}{10}}\) tosi?
\(\begin{align}\mathsf{\dfrac{\color{red}6}{\color{blue}{15}}} &= \mathsf{\dfrac{\color{blue}4}{\color{red}{10}}}\\\mathsf{\color{red}6 \cdot \color{red}{10}} &= \mathsf{\color{blue}4 \cdot \color{blue}{15}}\\\mathsf{\color{red}{60}} &= \mathsf{\color{blue}{60}}\end{align}\)
Vastaus: Yhtälö on tosi.
Verrantoyhtälön paikkansapitävyys voidaan havaita myös soveltamalla supistamista ja laventamista.
Esimerkki: Onko yhtälö \(\mathsf{\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20}}\) tosi?
Oikean puolen osoittaja saadaan laventamalla kolmella \(\mathsf{2 \cdot 3 = 6}\)
Nimittäjillä sama ei onnistu, sillä \(\mathsf{5 \cdot 3 = 15 \neq 20}\), joten murtoluvut eivät ole yhtä suuria.
Vastaus: Yhtälö on epätosi.
Verrannon ratkaiseminen
Jos verrannossa jokin luku on tuntematon, se voidaan toki ratkaista käyttäen aikaisemmin opittuja yhtälönratkaisun menetelmiä, mutta käytännössä yksinkertaisempaa on ratkaista verranto käyttämällä ns. ristiin kertomista.
Ristiin kertomisessa vasemman puolen osoittaja kerrotaan oikean puolen nimittäjällä ja päinvastoin. Ristiin kertomista voidaan merkitä \(\nearrow\!\!\!\!\!\!\nwarrow\)-merkinnällä. Esimerkiksi
Verrannossa muuttuja x voi esiintyä myös molemmilla puolilla yhtälöä tai sillä voi olla kerroin. Tällaisessakin tilanteessa päästään eteenpäin ristiin kertomalla, mutta huolellisuutta tulee noudattaa, jotta kaikki tulee kerrottua.
Esimerkki:
a) Ratkaise verrantoyhtälö \(\mathsf{\dfrac{3x}{4} = \dfrac{9}{2}}\).
\(\begin{align}\mathsf{\dfrac{3x}{4}} &= \mathsf{\dfrac{9}{2}} &&\|\nearrow\!\!\!\!\!\!\nwarrow\\ \mathsf{6x} &= \mathsf{36} &&\mathsf{\|:6}\\ \mathsf{x} &= \mathsf{6}\end{align}\)
b) Ratkaise verrantoyhtälö \(\mathsf{\dfrac{x}{x + 10} = \dfrac{6}{11}}\).
\(\begin{align}\mathsf{\dfrac{x}{x + 10}} &= \mathsf{\dfrac{6}{11}} &&\|\nearrow\!\!\!\!\!\!\nwarrow\\ \mathsf{11x} &= \mathsf{6x+60} &&\mathsf{\|-6x}\\ \mathsf{5x} &= \mathsf{60} &&\mathsf{\|:5}\\ \mathsf{x} &= \mathsf{12}\end{align}\)
4. Suoraan verrannollisuus
Suoraan verrannollisilla suureilla tarkoitetaan kahta mitattavaa asiaa, jotka kasvavat ja vähenevät samassa suhteessa, eli esimerkiksi toisen kaksinkertaistuessa toinenkin kaksinkertaistuu. Tällaisia suureita ovat esimerkiksi aika ja matka kun kuljetaan vakionopeudella, prosentit ja eurot tai banaanien määrä ja hinta.
Verrannollisuustehtävän ratkaiseminen
Jos tehtävänä on tarkastella kahden suureen välistä muutosta, ja jokin osa jää tuntemattomaksi, voidaan ongelma yrittää ratkaista verrannon avulla. Aluksi muodostetaan taulukko havainnollistamaan ongelmaa. Taulukon avulla voidaan päätellä mahdollinen suoraan (tai kääntäen) verrannollisuus, sekä muodostaa verranto ongelman ratkaisemiseksi. Taulukossa on kaksi saraketta, joissa toisiaan vastaavat arvot ovat samalla rivillä.
Esimerkki: Marjo hiihtää 15 kilometrin matkan, johon kuluu aikaa 1 tunti ja 15 minuuttia (1,25 h). Kuinka pitkän matkan Marjo hiihtää kahdessa tunnissa, jos nopeus pysyy samana?
Muodostetaan taulukko:
| Matka (km) | Aika (h) |
|---|---|
| 15 | 1,25 |
| x | 2 |
Suureet ovat suoraan verrannollisia, joten muodostetaan verranto, ja ratkaistaan se.
\( \begin{align} \mathsf{\dfrac{15}{x}} &= \mathsf{\dfrac{1,\!25}{2}} &&\quad\|\;\nearrow\!\!\!\!\!\!\nwarrow\\ \mathsf{1,\!25x} &= \mathsf{30} &&\quad\|\;:\mathsf{1,\!25}\\ \mathsf{x} &= \mathsf{24} \end{align} \)
Vastaus: Marjo hiihtää kahdessa tunnissa 24 kilometriä.
5. Kääntäen verrannollisuus
Kääntäen verrannollisilla suureilla tarkoitetaan kahta mitattavaa asiaa, joista toisen kasvaessa toinen pienenee samassa suhteessa, eli esimerkiksi toisen kaksinkertaistuessa toinen puolittuu. Tällaisia suureita ovat esimerkiksi tietyn vakiomatkan kulkemiseen käytetty aika ja nopeus tai ojan kaivamiseen kulunut aika ja kaivajien määrä (kaivajien työteho oletetaan samaksi).
Kääntäen verrannollisen tehtävän ratkaiseminen
Aluksi muodostetaan taulukko havainnollistamaan ongelmaa kuten aiemmin on opittu. Taulukon avulla päätellään, ovatko suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia (vai ei kumpaakaan). Jos suureet ovat kääntäen verrannollisia, taulukon toisen sarakkeen lukujen järjestys vaihdetaan verrantoa kirjoitettaessa.
Esimerkki: Matti pyöräilee nopeudella 18 km/h. Hän pyöräilee kouluun 20 minuutissa. Kuinka kauan Matilla kuluu aikaa kävellä kouluun, kun hänen kävelynopeutensa on 5 km/h?
Muodostetaan taulukko:
| Nopeus (km/h) | Aika (min) |
|---|---|
| 18 | 20 |
| 5 | x |
Suureet ovat kääntäen verrannollisia, joten muodostetaan verranto kääntäen luvut 20 ja x toisin päin. ja ratkaistaan verranto.
\( \begin{align} \mathsf{\dfrac{18}{5}} &= \mathsf{\dfrac{x}{20}} &&\quad\|\;\nearrow\!\!\!\!\!\!\nwarrow\\ \mathsf{5x} &= \mathsf{360} &&\quad\|\;:\mathsf{5}\\ \mathsf{x} &= \mathsf{72} \end{align} \)
\(\mathsf{72\:min = 1\:h\;12\:min}\)
Vastaus: Matilta kuluu kävellen aikaa tunti ja 12 minuuttia.
6. Verrannollisten suureiden ominaisuuksia
Suoraan verrannolliset suureet siis kasvavat ja pienenevät samassa suhteessa. Esimerkiksi suureen A kasvaessa kaksinkertaiseksi suure B kasvaa myös kaksinkertaiseksi. Tämä tarkoittaa sitä, että suoraan verrannollisten suureiden osamäärä (eli jakolasku) on aina vakio.
Vastaavasti kääntäen verrannolliset suureet muuttuvat käänteisessä suhteessa. Esimerkiksi suureen A kasvaessa kaksinkertaiseksi suure B puolittuu. Tämä johtaa siihen, että kääntäen verrannollisten suureiden tulo (eli kertolasku) on aina vakio.
Esimerkki: Taulukossa on esitetty 20 euron hintaisen paidan alennusprosentteja ja niitä vastaavia alennuksia. Laske alennusprosentin ja euromääräisen alennuksen osamäärä ja tulo taulukkoon. Ovatko suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia?
| Alennus (%) | Alennus (€) | Osamäärä | Tulo |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | \(\mathsf{5 : 1 = 5}\) | \(\mathsf{5 \cdot 1 = 5}\) |
| 10 | 2 | \(\mathsf{10 : 2 = 5}\) | \(\mathsf{10 \cdot 2 = 20}\) |
| 20 | 4 | \(\mathsf{20 : 4 = 5}\) | \(\mathsf{20 \cdot 4 = 80}\) |
| 25 | 5 | \(\mathsf{25 : 5 = 5}\) | \(\mathsf{25 \cdot 5 = 125}\) |
Vastaus: Suureet ovat suoraan verrannollisia.
Esimerkki: Taulukossa on esitetty työmatkaan kulunutta aikaa ja sitä vastaavia keskinopeuksia. Laske ajan ja nopeuden osamäärä ja tulo taulukkoon. Ovatko suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia?
| Aika (min) | Nopeus (km/h) | Osamäärä | Tulo |
|---|---|---|---|
| 20 | 60 | 0,33 | 1200 |
| 10 | 120 | 0,083... | 1200 |
| 12 | 100 | 0,12 | 1200 |
| 15 | 80 | 0,1875 | 1200 |
Vastaus: Suureet ovat kääntäen verrannollisia.