MA7 Jakso 2: Jaollisuus ja murtoluvut

Jakolasku on käänteinen laskutoimitus kertolaskulle. Kertolaskun vastaus voidaan jakaa kertolaskun tekijällä, jolloin vastaus on toinen kertolaskun tekijä.

\( \mathsf{\color{blue}{3} \cdot \color{green}{5} = \color{red}{15} \qquad\qquad \dfrac{\color{red}{15}}{\color{blue}{3}} = \color{green}{5} \qquad\qquad \dfrac{\color{red}{15}}{\color{green}{5}} = \color{blue}{3}} \)

Jakolaskua voidaan merkitä joko jakoviivalla (eli murtolukuna) kuten yllä, kaksoispisteellä \(\mathsf{15:3=5}\) tai kauttaviivalla \(\mathsf{15/3=5}\).

Jakolasku ei mene aina tasan. Jakamatta jäänyttä osaa kutsutaan jakojäännökseksi.

Tarkastellaan jakolaskua \(\mathsf{\dfrac{36}{3}}\). Jakolaskua voidaan lähteä tarkastelemaan parillakin eri tavalla.

• "Kuinka monta kertaa kolme mahtuu 36:een?"
  \(\mathsf{\quad3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3 = 36}\)
• "36 jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan. Kuinka suuri on yksi osa?"
  \(\mathsf{\quad 12 + 12 + 12 = 36}\)

Näin jakolaskun vastaukseksi saadaan 12.

Jakolaskun voi jakaa myös pienempiin osiin helpottaakseen jakamista. Tarkoituksena on pilkkoa jaettava sellaiseksi summaksi (yhteenlaskuksi), että yksittäiset jakolaskut ovat helppoja laskea. Pilkkomisen voi kukin tehdä haluamallaan tavalla, kunhan jaettava tulee kokonaan summatuksi.

Jakolasku, jossa jaettava on suuri ja jakaja on pieni, voidaan laskea allekkain tai jakokulmassa. Nämä menetelmät eroavat toisistaan vain hieman erilaisen merkinnän kautta.

Ideana on jakaa jaettavan luvun numerot osissa lähtien liikkelle vasemmanpuoleisimmasta numerosta. Seuraava numero lisätään edellisen jakolaskun jakojäännökseen, ja tätä toistetaan kunnes koko luku on käyty läpi. Esimerkki jakolaskusta löytyy kohdasta.

Jakojäännöksen voi selvittää jakamalla jakolasku osiin. Tällöin jakamatta jääneen osan osoittaja kertoo jakojäännöksen.

Allekkain jakolaskussa viimeisen jakolaskun jälkeen jäävä jakojäännös on koko jakolaskun jakojäännös. Tällöin laskua ei siis lasketa desimaaliluvuille saakka, vaan laskeminen lopetetaan kun koko jaettava on käyty läpi. Alla on esimerkki jaollisuuden selvittämisestä allekkain jakolaskussa.

Esimerkki: Onko luku 5753 jaollinen luvulla 7?

Vastaus: Luku 5753 ei ole jaollinen luvulla 7.

Kahden luvun välisen jaollisuuden voi selvittää myös ilman jakolaskun laskemista. Pienille numeroille on olemassa omat päättelysääntönsä, joiden avulla voidaan jaollisuus päätellä.

Jaollisuus voidaan päätellä luvun viimeisen numeron perusteella. Luku on jaollinen luvulla

• 2, jos luvun viimeinen numero on 0, 2, 4, 6, tai 8, eli luku on parillinen
• 5, jos luvun viimeinen numero on 0 tai 5
• 10, jos luvun viimeinen numero on 0.

Jaollisuus voidaan päätellä luvun numeroiden summan perusteella. Luku on jaollinen luvulla

• 3, jos luvun numeroiden summa on jaollinen luvulla 3
• 9, jos luvun numeroiden summa on jaollinen luvulla 9.

Muidenkin lukujen jaollisuudelle on määritetty päättelysääntöjä. Näitä ei kuitenkaan peruskoulun matematiikassa vaadita osattavaksi. Näitä voi kuitenkin käyttää hyvinä harjoituksina erilaisten sääntöjen noudattamiselle.

Luku on jaollinen luvulla

• 4, jos sen kahden viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen neljällä.
• 6, jos se on jaollinen sekä kahdella että kolmella.
• 7, jos luvun viimeinen numero kerrotaan kahdella, tämä vähennetään jäljelle jääneestä alkuperäisestä luvusta ja saatu erotus on jaollinen seitsemällä.
• 8, jos sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen kahdeksalla.

Tekijä-sana tulee kertolaskusta, jossa puhutaan kertojasta ja kerrottavasta, eli tulon tekijöistä. Tällöin on luonnollista, että luvun tekijöitä etsitään kertolaskun avulla. Luvussa 1 todettiin jakolaskun olevan käänteistä kertolaskulle, joten tekijöiden löytämiseksi etsitään kaikki kertolaskut, joiden vastaus kyseinen luku on.

Kahden tai useamman kokonaisluvun suurin yhteinen tekijä (SYT) on suurin kokonaisluku, jolla kaikki nämä luvut ovat jaollisia. Ensin selvitetään lukujen tekijät, joista valitaan suurin yhteinen tekijä.

Suurinta yhteistä tekijää käytetään mm. murtolukujen supistamisessa. Kun supistajana käytetään osoittajan ja nimittäjän suurinta yhteistä tekijää, saadaan murtoluku supistettua yksinkertaisimpaan muotoon.

Pienin yhteinen jaettava (PYJ) on nimensä mukaisesti luku, joka on jaollinen kahdella halutulla luvuilla, ja on sen lisäksi pienin mahdollinen.

Aluksi etsitään lukujen alkutekijät (nämä esitellään luvussa 4), ja muodostetaan tulo, jossa on tekijöinä kaikkia edellä löydettyjä alkutekijöitä. Sama alkutekijä esiintyy tulossa yhtä monta kertaa kuin niitä enimmillään esiintyi lukujen alkutekijöissä.

Esimerkissä mukaan tuloon otetaan siis kaikki erilaiset alkutekijät 2, 3 ja 5 ja luku 3 tulee kahteen kertaan, koska se esiintyy luvun 18 alkutekijänä kaksi kertaa.

Pienintä yhteistä jaettavaa käytetään silloin, kun ollaan laskemassa murtolukujen yhteen- tai vähennyslaskua (kts. luku 7). Ennen varsinaista laskua, luvut tulee laventaa samannimisiksi. Murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen jaettava on pienin yhteinen luku, johon molemmat nimittäjät voidaan laventaa.

Pienimmän yhteisen jaettavan voi laskea myös laskukaavalla, missä lukujen tulon itseisarvo jaetaan lukujen suurimmalla yhteisellä tekijällä. Positiivisilla luvuilla itseisarvoa ei tarvita, mutta yleisesti se on siis muotoa.

Kun luku jaetaan tekijöhin siten, että kaikki tekijät ovat alkulukuja, kutsutaan näitä lukuja alkutekijöiksi.

Alkutekijät voidaan löytää päättelemällä, mutta suurten lukujen tapauksessa tehtävää helpottaa ns. tekijöihinjakopuu. Puun latvaan, eli ylimpään solmuun, kirjoitetaan luku, jonka alkutekijät halutaan selvittää. Luku jaetaan aina kahdeksi tekijäksi, jotka kirjoitetaan seuraaviin solmuihin. Tätä jatketaan, kunnes kaikki tekijät ovat alkulukuja. Saadut alkuluvut ovat alkuperäisen luvun alkutekijät.

Alkutekijät järjestellään luetteloon ja kertolaskuun aina pienimmästä suurimpaan. Näin nähdään parhaiten eri alkutekijöiden lukumäärä ja voidaan verrata luvun alkutekijöitä toisen luvun alkutekijöihin. Samoja alkutekijöitä voidaan ryhmitellä myös potenssien avulla esimerkiksi \(\mathsf{60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5}\). Potenssit opetetaan kuitenkin vasta myöhemmin, joten 7. luokalla riittää avoin kertolasku.

Murtoluvulla esitetään kokonaisen osia. Murtoluvussa merkitään kaksi kokonaislukua allekkain, ja niiden väliin laitetaan viiva. Ylempää lukua kutsutaan osoittajaksi ja alempaa nimittäjäksi. Nimittäjä nimittää osien suuruuden ja osoittaja osoittaa kyseisten osien lukumäärän.

Sekaluvulla tarkoitetaan lukua, jossa on sekaisin kokonaisia ja osia. Tämä merkintä on havainnollinen, kun halutaan nähdä murtoluvun suuruusluokka nopeasti. Tämän vuoksi murtoluvuilla suoritetut laskutoimitukset muutetaan aina laskemisen jälkeen sekaluvuksi mikäli mahdollista.

Murtoluvut voidaan muuttaa sekaluvuksi, jos osoittaja on suurempi kuin nimittäjä. Muutos selkeyttää varsinkin laskun vastausta. Muunnettaessa murtolukua sekaluvuksi suoritetaan jakolasku "Kuinka monta kertaa nimittäjä mahtuu osoittajaan". Jakolaskun vastaus muodostaa kokonaisosan, ja jakolaskun jakojäännös jää näkyville murto-osaan.

Sekaluku tulee muuttaa murtoluvuksi silloin, kun sekaluvuilla halutaan laskea jotakin. Kokonaisosa aiheuttaa jo vähennyslaskussa virheen vaaraa, mutta kerto- ja jakolaskussa meno äityy villiksi jo pelkästä ajatuksesta. Muunnettaessa sekalukua murtoluvuksi muutetaan kokonaisosa murtolukumuotoon ja lisätään murto-osaan. Kokonaisosan muodostaman murtoluvun nimittäjäksi valitaan sama nimittäjä kuin murto-osalla, ja osoittaja saadaan kertomalla kokonaisosa kyseisellä nimittäjällä. Lopuksi tämä osoittaja ja murto-osan osoittaja lasketaan yhteen.

Tämä opetataan yleensä yhdellä kertaa tehtäväksi laskutoimitukseksi, jota ei menetelmän opittuaan oppilaan tarvitse merkitä näkyviin. Pelkkä muutos riittää.

Murtoluku voidaan muuttaa desimaaliluvuksi, jota kutsutaan myös murtoluvun arvoksi. Murtoluku on jakolasku, joka näkyy myös yhtenevästä merkintätavastakin. Murtolukujen avulla voidaan esittää selkeästi sellaisia kokonaisen osia, jotka desimaalilukuna olisivat pitkiä tai jopa päättymättömiä.

Murtolukuja käytetään usein tarkkojen arvojen merkitsemiseen desimaalilukujen kärsiessä epätarkkuuden epäilyksistä mahdollisen mittaustarkkuuden tai pyöristämisen seurauksena.

Desimaaliluvut voidaan muuttaa murtoluvuiksi hyödyntämällä desimaaliosan paikkojen nimityksiä kymmenesosa, sadasosa, tuhannesosa, jne. Kun luku on saatu murtolukumuotoon, se voidaan vielä supistaa yksinkertaisimpaan muotoon, joka opetellaan seuraavassa luvussa.

Supistamisessa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla, jolloin murtoluku saadaan yksinkertaisempaan muotoon. Supistettaessa murtoluvun arvo ei muutu. Supistaja merkitään kaarella murtoluvun oikeaan yläkulmaan.

Erilaisista laskutoimituksista vastaukseksi saatu murtoluku tulee aina supistaa yksinkertaisimpaan muotoonsa. Tämä selkeyttää vastausta.

Laventamisessa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Lavennettaessa murtoluvun arvo ei muutu. Laventaja merkitään kaarella murtoluvun vasempaan yläkulmaan.

Laventamista käytetään murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa, murtolukujen suuruusvertailussa sekä muutettaessa murtolukuja desimaali- tai prosenttiluvuiksi.

Ennen murtolukujen yhteen- tai vähennyslaskua murtolukujen tulee olla samannimiset, eli niiden nimittäjien tulee olla samat.

Vinkkejä samannimiseksi laventamiseen:

• Lavenna vain toista murtolukua, jos toinen nimittäjä on toisen moninkerta.
  \(\mathsf{\rule{0pt}{1.4em}^{2)}\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}^{(3} \!\!= \dfrac{1}{2}}\)
• Selvitä mahdollisimman pieni luku (kts. luku 3, Pienin yhteinen jaettava), johon molemmat nimittäjät voidaan laventaa.
  \(\mathsf{\rule{0pt}{1.4em}^{2)}\dfrac{2}{15} +\!\! \rule{0pt}{1.4em}^{5)}\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{30} + \dfrac{5}{30} = \dfrac{9}{30}^{(3} \!\!= \dfrac{3}{10}}\)
• Lavenna ristiin, jos luvut ovat pienä tai mikään muu ei auta.
  \(\mathsf{\rule{0pt}{1.4em}^{{\color{red}2})}\dfrac{2}{\color{blue}3} - \!\!\rule{0pt}{1.4em}^{{\color{blue}3})}\dfrac{1}{\color{red}2} = \dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{6}}\)

1. Muunna sekaluvut murtoluvuiksi, jos niitä esiintyy.
2. Muunna murtoluvut tarvittaessa samannimisiksi.
3. Laske lasku osoittajilla.
4. Nimittäjä pysyy samana.
5. Supista vastaus, jos mahdollista.
6. Muuta sekaluvuksi, jos mahdollista.

Vanhastaan tiedetään, että kertolasku on lyhyempi tapa kirjoittaa toistuva yhteenlasku. Tämän perusteella voidaan johtaa laskusääntö kertolaskulle myös murtolukujen tapauksessa.

Kuten huomataan, kertolasku on kohdistunut vain osoittajaan \(\mathsf{3 \cdot 2 = 6}\), mutta nimittäjä on pysynyt samana. Murtoluvun ja kokonaisluvun kertolasku voidaan siis ajatella myös näin.

Välivaihetta (harmaalla) ei tarvitse merkitä näkyviin, vaan kertolaskun voi suoraan laskea osoittajaan.

Osan ottaminen luvusta tapahtuu siten, että osaa kuvaavalla murtoluvulla kerrotaan lukua, josta osaa otetaan.

Kahden (tai useamman) murtoluvun kertolasku lasketaan siten, että osoittajat kerrotaan keskenään, ja nimittäjät kerrotaan keskenään.

Välivaiheita (harmaalla) ei tarvitse merkitä näkyviin, vaan osoittajan ja nimittäjän voi laskea suoraan. Esimerkin b-kohdassa muutettiin murtoluvun ja kokonaisluvun kertolasku kahden murtoluvun kertolaskuksi. Näin vaikeasti sitä ei tietenkään tarvise tehdä, mutta esimerkin avulla yleistettiin murtolukujen kertolaskun laskusäännön toimivan myös kokonaislukujen tapauksessa. Havainnollistetaan murtolukujen kertolaskua vielä pienen animaation avulla. Animaation saat pyörimään painamalla vasemmasta alanurkasta nuolipainiketta.

Ennen kertolaskun laskemista kannattaa tarkistaa, voiko tulon tekijöitä supistaa. Tulon tapauksessa supistaa voidaan siis ristiin, kunhan toinen luku on osoittaja ja toinen nimittäjä. Etukäteen tehty supistus helpottaa kertolaskun laskemista, tai tekee siitä jopa tarpeettoman.

Murtoluvun ja luvun jakolaskussa murtoluvun nimittäjä kerrotaan jakajalla.

Välivaihetta (harmaalla) ei tarvitse merkitä näkyviin, vaan laskun voi laskea suoraan. Nimittäjän kertominen toimii aina, mutta toki siinä voi käyttää järkeäkin. Jos osoittaja voidaan suoraan jakaa jakajalla, niin tällöin edellä mainittua kikkailua ei tarvitse tehdä.

Välivaihetta (harmaalla) ei tarvitse merkitä näkyviin. Muista, että osoittajan jakaminen toimii vain, jos osoittaja on jaollinen jakajalla.

Ennenkuin pääsemme varsinaiseen kahden murtoluvun jakolaskuun meidän täytyy tutustua käänteislukuun. Käänteisluku tarkoittaa käytännössä​ sitä, että vaihdetaan murtoluvun osoittajan ja nimittäjän paikkaa keskenään. Virallisesti käänteisluku määritellään siten, että luvun ja sen käänteisluvun tulo on 1.

Murtolukujen jakolasku ratkaistaan muuttamalla jakolasku kertolaskuksi vaihtamalla jakaja käänteisluvukseen, ja lasketaan muodostunut kertolasku.

Jonkin osan suhteellinen osuus prosentteina voidaan laskea murtolukujen kautta. Muodostetaan ensin tarkasteltavasta tilanteesta murtoluku, ja muutetaan se sitten prosenttiluvuksi.

Murtolukujen kertolaskun yhteydessä opittiin ottamaan osa jostakin luvusta. Osan suuruus ilmoitettiin murtolukuna, ja osa saatiin kertolaskun avulla. Jos osan suuruus ilmoitetaankin prosenttilukuna, voidaan toimia samalla tavalla. Prosenttiluku tulee kuitenkin muuttaa ensin prosenttikertoimeksi (desimaaliluvuksi), eli jakaa sadalla.