MA7 Jakso 1: Kokonais- ja desimaaliluvut

Summa

Summa tarkoittaa joko yhteenlaskun tulosta tai yhteenlaskulauseketta. Luku joka esiintyy summassa on nimeltään summattava tai yhteenlaskettava. Yhteenlaskussa luvun suuruus kasvaa, eli lukusuoralla siirrytään oikealle (nuolen suuntaan).

Erotus

Erotus tarkoittaa joko vähennyslaskun tulosta tai vähennyslaskulauseketta. Erotuksen ensimmäinen luku on nimeltään vähennettävä ja muut ovat vähentäjiä. Vähennyslaskussa luvun suuruus pienenee, eli siirrytään lukusuoralla vasemmalle (vastakkaiseen suuntaan kuin nuoli).

Summan ja erotuksen välinen yhteys

Jos summasta vähennetään toinen yhteenlaskettavista, niin saadaan vastaukseksi toinen yhteenlaskettava.

\(\begin{align}\mathsf{{\color{green}8} + {\color{blue}5} = {\color{red}13}}\\ \mathsf{{\color{red}13} - {\color{blue}5} = {\color{green}8}}\\ \mathsf{{\color{red}13} - {\color{green}8} = {\color{blue}5}}\end{align}\)

Tulo

Tulo tarkoittaa joko kertolaskun tulosta tai kertolaskulauseketta. Tuloon osallistuvia lukuja kutsutaan tulon tekijöiksi. Kertolasku on lyhyempi tapa ilmaista summa, jossa jotakin lukua lasketaan itsensä kanssa yhteen useita kertoja.

Kertolaskua on helppo havainnollistaa suorakulmion muotoisen alueen sisältämien ruutujen laskemisessa. Alla olevasta kuvasta voidaan myös havaita kertolaskun vaihdannaisuus, eli \(\mathsf{5 \cdot 3 = 3 \cdot 5 = 15}\).

Osamäärä

Osamäärä eli jakolasku on tulon vastakkainen laskutoimitus. Jakolaskua voidaan merkitä joko

• jakoviivalla \( \mathsf{\dfrac{40}{8} = 5} \)
  
• kaksoispisteellä \( \mathsf{40:8=5} \) tai
  
• kauttaviivalla \( \mathsf{40/8 = 5} \)

Osamäärän ensimmäistä (ylempää) lukua kutsutaan jaettavaksi ja jälkimmäistä jakajaksi.

Tulon ja osamäärän välinen yhteys

Jos jokin tulo jaetaan toisella tulon tekijällä, niin saadaan vastaukseksi toinen tulon tekijöistä.

\(\begin{align}&\mathsf{{\color{blue}8} \cdot {\color{green}5} = {\color{red}40}} \\ &\mathsf{\dfrac{\color{red}40}{\color{blue}8} = {\color{green}5}}\\ &\mathsf{\dfrac{\color{red}40}{\color{green}5} = {\color{blue}8}}\end{align}\)

Osittelun tarkoituksena on löytää menetelmiä peruslaskutoimitusten päässälaskuun. Esiteltävät merkinnät ovat enemmänkin ohjeellisia ja niiden tarkoituksena on havainnollistaa menetelmän toimintaa. Myöhemmin joitain menetelmiä käytetään apuna myös kirjainlaskennassa.

Summa

Suuret yhteenlaskettavat voidaan pilkkoa ykkösiksi, kymmeniksi, sadoiksi, jne. ja laskea helpommat yhteenlaskut keskenään. Lopuksi osasummat lasketaan vielä yhteen, jotta saadaan lopullinen vastaus.

Erotus

Vastaavalla tavalla vähennyslaskussa vähennettävä voidaan pilkkoa pienempiin osiin, ja vähentää osat yksi kerrallaan vähennettävästä.

Tulo

Suurta lukua kerrottaessa luku voidaan pilkkoa suuruusluokkien (ykköset, kymmenet, sadat...) mukaisiin pienempiin osiin (summaksi), ja kertoa niitä erikseen. Lopuksi osatulokset lasketaan yhteen, jolloin saadaan lopullinen vastaus.

Osamäärä

Jakolaskussa jaettava voidaan jakaa osiin (summaksi), jakaa helpommat jakolaskut erikseen, ja lopuksi laskea yhteenlasku, jolloin saadaan lopullinen vastaus.

Osittelun voi tehdä alussa haluamallaan tavalla, kunhan luvut ovat sellaisia, että ne on helppoa jakaa tasan.

Summa ja erotus allekkainlaskuna

Suuria lukuja voidaan laskea yhteen allekkainlaskun avulla. Menetelmä perustuu siihen, että lasketaan kukin suuruusluokka (ykköset, kymmenet, sadat, ...) keskenään yhteen, ja ylimenevät osat lasketaan tarvittaessa seuraavassa vaiheessa. Yhteenlaskua allekkain käytetään myös silloin kun lukuja on paljon.

Suurten lukujen erotus voidaan myös laskea allekkain. Tässäkin lähdetään ykkösistä liikkeelle ja yritetään vähentää ylemmästä numerosta alempi. Jos se ei onnistu, niin voidaan lainata suuruusluokkaa suuremmista numeroista.

Tulo ja osamäärä allekkainlaskuna

Allekkain kertolaskun idea perustuu tekijöiden jakamiseen kokonaisiin, kymmeniin, satoihin, jne., jolloin yksittäiset kertolaskut saadaan helpommiksi. Lopuksi kertolaskujen tulokset lasketaan yhteen.

Allekkain jakolaskussa jaettavaa jaetaan numero kerrallaan lähtien vasemmalta. Yksittäisistä jakolaskuista jäävä jakojäännös liitetään seuraavan numeron kymmeniksi. Allekkain jakolaskulla saadaankin kätevästi jakojäännös selville, jota tutkitaan tarkemmin seuraavassa jaksossa.

Vaihdannaisuus eli kommutatiivisuus on laskutoimituksen ominaisuus, joka kuvaa mahdollisuutta vaihtaa laskutoimituksen luvut toisin päin ilman, että laskun tulos muuttuu. Yhteenlasku on vaihdannainen laskutoimitus.

Vähennyslasku puolestaan ei ole vaihdannainen laskutoimitus.

Kertolasku on vaihdannainen laskutoimitus.

Jakolasku ei ole vaihdannainen laskutoimitus.

Potenssimerkinnän avulla voidaan lyhentää kertolaskua, missä sama luku esiintyy tulon tekijänä useamman kerran. Potenssimerkinnässä tulon tekijän oikeaan yläkulmaan kirjoitetaan luku, joka kertoo kuinka monta kertaa tekijä kertolaskussa esiintyy.

Tulon tekijää (esimerkissä luku 2) kutsutaan kantaluvuksi, ja yläkulmassa olevaa lukua (luku 4) kutsutaan eksponentiksi. Kyseinen merkintä sanottaisiin "Kaksi potenssiin neljä", "Kaksi neljänteen" tai "Kaksi korotettuna neljänteen potenssiin".

Potenssin arvoa laskettaessa potenssimerkintä voidaan kirjoittaa ensin kertolaskuna, ja laskea kertolasku normaalisti tämän jälkeen.

Kuten yllä olevasta esimerkistä huomataan, niin kantaluku voi olla myös negatiivinen. Negatiivinen kantaluku tulee kirjoittaa sulkeiden sisään.

Laskujärjestyksen osalta potenssit lasketaan ennen kerto- ja jakolaskuja. Suluilla voidaan potenssienkin kohdalla määrätä laskujärjestystä tarpeen mukaan.

Neliöjuuri

Kuten peruslaskutoimituksilla aikaisemmin havaittiin, myös potensseilla on olemassa käänteiset laskutoimitukset. Yleisesti niitä voisi kutsua juuri-laskuiksi, mutta keskitytään nyt toiseen potenssiin korottamisen käänteiseen laskutoimitukseen eli neliöjuureen.

\(\mathsf{5^2 = 25 \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{25} = 5}\)

Neliöjuuren merkintänä käytetään siis erityistä juuri-merkkiä \(\sqrt{\rule{1em}{0pt}\rule{0pt}{1em}}\). Merkin alla olevaa lukua kutsutaan juurrettavaksi. Neliöjuuri vastaa siis kysymykseen "Mikä luku on kerrottu itsellään, että saadaan vastaukseksi juurrettava?".

Toistaiseksi ollaan opiskeltu vain peruslaskutoimituksia, joten tarkastellaan laskujärjestystä niiden osalta. Jos lausekkeen laskutoimitukset ovat samassa vaiheessa laskettavia, suoritetaan lasku oletuksena aina järjestyksessä vasemmalta oikealle. Alle on listattu peruslaskutoimitusten laskujärjestys:

1. Sulkeet
2. Tulo ja osamäärä (kerto- ja jakolasku)
3. Summa ja erotus (yhteen- ja vähennyslasku)

Sulkeiden avulla voidaan siis lausekkeen laskujärjestystä muuttaa. Kertolaskun laskeminen ennen yhteenlaskua on luonnollista, kun muistetaan, että kertolaskuhan oli vain lyhyempi tapa merkitä tilannetta, jossa samaa lukua summataan useita kertoja.

Murtolauseke eli rationaalilauseke tarkoittaa sellaisia lausekkeita, jotka on kirjoitettu käyttäen murtolukumerkintää. Osoittajassa ja nimittäjässä voi siis yksittäisen luvun lisäksi olla lausekkeita. Laskujärjestyksen kannalta osoittajassa ja nimittäjässä olevat lausekkeet tulee laskea ensin, ja mahdollinen murtolukumerkinnän mukainen jakolasku aivan viimeiseksi.

Tehtävä voitaisiin kirjoittaa ilman murtolukumerkintää seuraavasti:

Murtolauseke siis muuttaa laskujärjestystä ilman tarvetta sulkeiden käytölle.

Jos halutaan ilmaista jotakin lukujoukkoa, joka on haluttujen lukujen välissä, voidaan väli ilmaista suuruusvertailumerkkien avulla.

\(\mathsf{\text{alaraja} < x < \text{yläraja}}\)

Lisäksi yhtäsuuruuden hyväksyvillä merkeillä ≤ ja ≥ voidaan määrittää lukuväli avoimeksi tai suljetuksi. Avoimessa välissä välin päätepisteet eivät kuulu mukaan lukujoukkoon. Suljetussa välissä päätepisteet kuuluvat mukaan lukujoukkoon. Alla olevassa esimerkissä on esitetty erilaisia lukuvälejä.

Desimaalilukuja voidaan annetulle välille muodostaa ääretön määrä, koska desimaaliluvun tarkkuutta voidaan aina lisätä. Tämän vuoksi desimaalilukuväliä määriteltäessä kannattaa määrittää sopiville desimaaliluvuille jokin tarkkuus, esimerkiksi kaksi desimaalia tai kymmenesosien tarkkuus. Desimaalilukuja luetellessa käytetään luettelomerkkinä pilkun sijaan kaksoispistettä, jotta se ei mene desimaalipilkun kanssa sekaisin.

Esimerkki: Mitkä yksidesimaaliset luvut sopivat muuttujan x paikalle?

a) avoin väli \(\mathsf{3 < x < 4}\)

Sopivat luvut: \(\mathsf{\text{3,1}; \text{3,2}; \text{3,3}; \text{3,4}; \text{3,5}; \text{3,6}; \text{3,7}; \text{3,8}; \text{3,9}}\)

b) \(\mathsf{\text{1,23} < x < \text{1,68}}\)

Sopivat luvut: \(\mathsf{\text{1,3}; \text{1,4}; \text{1,5}; \text{1,6}}\)

Käytetyin vertailumerkki koulumatematiikassa lienee yhtäsuuruusmerkki (\(\mathsf{=}\)). Sitä käytetään mm. lausekkeen ja tuloksen välissä ilmaisemassa, että lausekkeen arvo on yhtä suuri kuin tulos.

\(\mathsf{4+5=9}\)

Toisaalta yhtäsuuruusmerkkiä käytetään myös sievennettyjen lausekkeiden välissä kuvaamaan, että kaksi lauseketta ovat yhtä suuria.

\(\mathsf{3 \cdot 4 + 5 = 12 + 5}\)

Yhtäsuuruusmerkin avulla voidaan myös kirjoittaa pidempiä väitteitä, jossa jotakin lauseketta sievennetään useita kertoja. Esimerkiksi

\(\mathsf{3 \cdot 4 + 5 = 12 + 5 = 17}\)

Selvyyden vuoksi pidemmät sievennykset kannattaa kirjoittaa useammalle riville siten, että yhtäsuuruusmerkki aloittaa uuden rivin.

\(\begin{align}&\mathsf{5 \cdot 4 + 3 \cdot (5-3)}\\=\;&\mathsf{5 \cdot 4 + 3 \cdot 2}\\=\;&\mathsf{ 20 + 6}\\=\;&\mathsf{ 26}\end{align}\)

Yhtäsuuruusmerkkiä käytetään usein myös väärin lisäämällä kesken sievennyksen uusia laskutoimituksia lausekkeeseen. Tällöin yhtäsuuruus ei enää pidä paikkaansa, eli väitteestä tulee epätosi. Alkuperäisen lausekkeen ja viimeisen sievennetyn lausekkeen (vastauksen) tulee olla yhtä suuria. Jokaisessa sievennyksen välivaiheessa tehdään siis vain laskujärjestyksen mukaisia muutoksia edelliseen lausekkeeseen eikä mitään lisätä tai jätetä pois lausekkeesta.

Kokonaislukuja on helpompi ymmärtää lämpömittarin tai lukusuoran avulla, jonka yhteydessä negatiivisia lukuja ollaan totuttu käsittelemään. Lämpömittari onkin käytännössä sama asia kuin pystyyn nostettu lukusuora.

Tärkeätä on ymmärtää, että luvut kasvavat lukusuoralla nuolen suuntaan (oikealle), jolloin vastakkaiseen suuntaan (vasemmalle) mentäessä luvut pienenevät. Esimerkiksi luku \(\mathsf{-3}\) on siis pienempi kuin \(\mathsf{-1}\).

Tarkastellaan lukusuoraa. Luvun vastaluku on yhtä kaukana nollasta kuin alkuperäinen luku, mutta vastakkaisella puolella. Vastalukua merkitään miinusmerkillä.

Esimerkiksi luvun \( \mathsf{2} \) vastaluku on \( \mathsf{-2} \). Eli vastaluku saadaan laittamalla luvun eteen miinusmerkki.

Toisaalta, luvun \( \mathsf{-2} \) vastaluku on \( \mathsf{2} \)​, eli voidaan sanoa, että luvun  vastaluvun vastaluku on luku itse. Matemaattisin merkinnöin tämä näyttäisi siis seuraavalta \( \mathsf{-(-2) = 2} \)​. Sulkeet luvun \( \mathsf{-2} \) edessä ovat selkeyttämässä peräkkäisten miinumerkkien merkintää sekä pakollinen tyyliseikka.

Lisäksi luvulla ja sen vastaluvulla on sellainen ominaisuus, että niiden summa on aina 0. Tätä tietoa käytetään hyväksi mm. lukio-opinnoissa, kun osoitetaan kahden luvun olevan toistensa vastalukuja. Tällöin on toki yleensä käytössä kokonaislukujakin monimutkaisemmat lukujoukot.

Luvun etäisyyttä nollasta kutsutaan luvun itseisarvoksi. Itseisarvoa merkitään kahdella pystyviivalla luvun ympärillä. Koska itseisarvo kuvaa etäisyyttä jostakin, se on aina etumerkitön, eli positiivinen luku.

Erotuksella saadaan nimensä mukaisesti selville kahden asian (luku, pituus, paino, rahamäärä, ...) välinen suuruusero. Suuruuseron tulisi olla aina positiivinen luku, mutta erotusta laskiessa vastaus voi olla myös negatiivinen luku, kun pienemmästä luvusta vähennetään suurempi.

Esimerkiksi tietokoneella laskettaessa olisi kätevää määritellä suuruuseron laskeminen siten, että lukujen järjestyksellä ei ole väliä, ja vastaus olisi aina positiivinen. Tähän ongelmaan käytetään erotuksen itseisarvoa, jolloin saadaan mahdollinen miinusmerkki pois luvun edestä.

Esimerkki: Laske lukujen

a) \(\mathsf{4}\) ja \(\mathsf{7}\) suuruusero.

\(\mathsf{|4-7| = |-3| = 3}\)

b) \(\mathsf{-4}\) ja \(\mathsf{7}\) suuruusero.

\(\mathsf{\left|-4-7\right| = |-11| = 11}\)

c) \(\mathsf{4}\) ja \(\mathsf{-7}\) suuruusero.

\(\mathsf{\left|\:4-(-7)\right| = |4+7| = |11| = 11}\)

d) \(\mathsf{-4}\) ja \(\mathsf{-7}\) suuruusero.

\(\mathsf{\left|-4-(-7)\right| = |-4+7| = |3| = 3}\)

Kokonaislukujen summan ja erotuksen eli yhteen- ja vähennyslaskun laskemista voidaan helpottaa lämpömittarin avulla. Esimerkiksi laskutoimitus

\( \mathsf{-3 + 7 = 4} \)

voidaan ajatella, että lämpötila on aluksi \( \mathsf{-3\;^\circ\text{C}} \) ja se nousee tämän jälkeen \( \mathsf{7\;^\circ \text{C}} \). Uusi lämpötila on \( \mathsf{4\;^\circ \text{C}}\).

Vastaavasti vähennyslaskussa

\( \mathsf{3 - 12 = -9} \)

lämpötila voidaan ajatella olevan aluksi \( \mathsf{3\;^\circ \text{C}} \) ja tämän jälkeen se laskee \( \mathsf{12\;^\circ \text{C}} \). Uusi lämpötila on siis \( \mathsf{-9\;^\circ \text{C}} \).

Koska miinusmerkki on saanut nyt uuden merkityksen, tulee jatkossa osata sieventää useita perättäisiä etumerkkejä. Sievennyssäännöt ovat seuraavat.

Käytännössä tällaisia tilanteita tulee vastaan kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskujen kohdalla. Varsinkin jaksossa 3 (kirjainlaskenta) tulee merkkien sievennyssäännöt olla hyvin muistissa, kun muuttujalausekkeeseen sijoitetaan kokonaislukuja. Vastaavasti 8. luokalla potenssien laskusääntöjen yhteydessä kerrataan merkkisääntöjä, kun negatiivisia lukuja korotetaan potenssiin. Tätä varten on hyvä ymmärtää, että pariton määrä miinusmerkkejä sievenee miinukseksi ja parillinen määrä plussaksi.

Erilaiset laskukaavat ja tietokoneohjelmat eivät välttämättä lähtökohtaisesti tiedä ovatko luvut joita sille syötetään positiivisia vai negatiivisia. Näin ollen voidaan tulla tilanteeseen, missä yritetään esimerkiksi laskea yhteen positiivista ja negatiivista lukua. Ennenkuin tällainen lasku voidaan laskea, on sievennettävä perättäiset merkit yhdeksi aiemmin opittujen sievennyssääntöjen avulla.

Toinen tapa, jolla kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskua voidaan joissain tilanteissa helpottaa, on vaihtaa lukujen järjestystä. Tämä vaatii ajatusmaailman muuttamista + ja - merkkien roolista. Tähän asti on totuttu, että merkit esiintyvät kahden luvun välissä ilmaisemassa yhteen- tai vähennyslaskua. Nyt ollaan todettu, että kyseessä onkin etumerkki eikä välimerkki, joten pidetään merkki kiinni sen jäljessä tulevassa luvussa. Nyt voidaan lukujen järjestystä laskussa vaihtaa esimerkiksi näin

\(\mathsf{{\color{blue}-5 \color{red}+ 8} = {\color{red}+ 8 \color{blue}-5} = 3}\)

tai näin

\(\mathsf{{\color{red}7 \color{blue}-2 \color{blue}-5 \color{red}+4} = {\color{red}7 \color{red}+4 \color{blue}-2 \color{blue}-5} = {\color{red}11 \color{blue}-7} = 4}\)

Lukusuoralla desimaalilukuja käytetään kokonaisten välissä kuvaamaan kymmenesosien, sadasosien, jne. avulla kokonaisten osia. Desimaalilukuja on loputtomasti, jokaisen desimaaliluvun välistä voidaan aina löytää uusi desimaaliluku.

Murtoluvut, joissa on nimittäjänä jokin kymmenen moninkerta, vastaavat suoraan desimaalilukuja.

Jos murtoluvun nimittäjä ei ole kymmenen moninkerta, se voidaan yrittää laventaa johonkin niistä.

Desimaaliluku voi jatkua loputtomasti. Tällöin desimaaliluvusta kirjoitetaan vain muutama ensimmäinen desimaali, ja luvun loppuun lisätään kolme pistettä kuvaamaan desimaaliluvun jatkumista kirjoitettujen numeroiden jälkeen. Tällaisia desimaalilukuja voi tulla esimerkiksi jakolaskun vastauksena.

Desimaaliluku voi toistaa samaa numeroa (kuten yllä) tai jotakin numerosarjaa. Tällöin sanotaan, että desimaaliluku on päättymätön jaksollinen desimaaliluku. Tällaiset luvut voidaan esittää murtolukuna. Toistuvan jakson päälle voidaan tällöin kirjoittaa viiva, joka kertoo mitkä numerot luvussa toistuvat.

Desimaaliluku voi olla myös päättymätön jaksoton desimaaliluku (ns. irrationaaliluku). Näitä desimaalilukuja ei voi esittää jakolaskuna (murtolukuna) vaan niitä esiintyy esimerkiksi neliöjuurien, trigonometristen funktioiden ja luonnonvakioiden yhteydessä.

Näihin pääset tutustumaan tarkemmin 8. ja 9. luokalla.

Useissa maissa desimaalierottimena käytetään Suomen tapaan pilkkua, mutta esimerkiksi Yhdysvalloissa desimaalierottimena käytetään pistettä. Tähän törmäät varmasti käyttäessäsi laskinta tai tietokonetta. Hämäävästi pilkulla erotellaan näissä maissa tuhannet, miljoonat, miljardit jne. toisistaan. Jotta sekaannusta ei pääse sattumaan, kannattaa aina laskuja laskimella laskiessasi varmistaa käytetty merkintätapa, ja pohtia jo etukäteen vastauksen suuruusluokkaa.

Lukuja allekkain asetellessa tulee varmistua, että pilkut ovat samalla kohdalla. Tällöin myös ykköset, kymmenet, kymmenesosat yms. ovat vastaavasti samalla kohtaa ja laskutoimitus onnistuu.

Esimerkki: Laske lukujen \(\textsf{5,04}\) ja \(\textsf{3,88}\) summa ja erotus allekkain.

Jos desimaaliluvuissa on eri määrä desimaaleja, voidaan toiseen lisätä puuttuvien desimaalien paikalle kirjoittaa nollia, jotta allekkainlasku selkeytyy.

Myös päässälaskiessa kannattaa ennen laskemista lisätä nollia desimaaliosan loppuun, mikäli luvuissa on eri määrä desimaaleja. Tämä helpottaa hahmottamaan paremmin lukujen desimaaliosan suuruutta ja suhdetta toisiinsa.

Toinen päässälaskua helpottava ajatusmalli on laskea kokonaisosa ja desimaaliosa erikseen, ja yhdistää ne sitten lopuksi. Esimerkiksi

Kymmenen moninkerroilla kerrottaessa desimaaliluvussa pilkku siirtyy oikealle nollien osoittaman määrän verran.

Jos numerot, joiden yli pilkkua voidaan siirtää, loppuvat kesken, lisätään tarvittaessa luvun loppuun nollia.

Jaettaessa kymmenen moninkerroilla pilkku siirtyy puolestaan vasemmalle. Tällöin saattaa ilmetä tarve lisätä nollia luvun eteen pilkun siirtämisen mahdollistamiseksi.

Tärkeimmät huomionarvoiset seikat myös päässälaskun kannalta, jotka liittyvät desimaalilukujen kerto- ja jakolaskuun nähdään hyvin, kun tarkastellaan laskemista allekkain.

Alla olevassa animaatiossa tarkastellaan desimaalilukujen kertolaskua allekkain. Nyt pilkkujen ei tarvitse olla päällekkäin, vaan lopputuloksen desimaalien lukumäärä määräytyy lähtöarvojen desimaalien mukaan.

Alla olevassa animaatiossa tarkastellaan puolestaan desimaalilukujen jakolaskua allekkain. Jos jakaja on myös desimaaliluku, niin pilkusta päästään eroon siirtämällä pilkkua molemmista luvuista yhtä monta kertaa oikealle, kunnes jakaja on kokonaisluku.

Tietyissä tapauksissa desimaalilukujen kerto- ja jakolaskuja voidaan laskea helposti myös päässälaskuna. Tällöin tulee olla lähinnä tarkkana pilkun paikasta vastauksessa, johon voidaan käyttää allekkainlaskusta opittua taktiikkaa. Kertolasku voidaan laskea aluksi välittämättä pilkusta ja lopuksi lisätä pilkku oikeaan paikkaan. Oikea paikka määräytyy lähtöarvojen desimaalien lukumäärän mukaan.

Jakolaskussa voidaan käyttää samaa taktiikkaa kuin allekkainlaskun tapauksessa. Jos jakajassa on desimaaliluku, jakolaskua (murtolukua) kannattaa laventaa siten, että jakajana on kokonaisluku. Tämän avulla voidaan hahmottaa jakolaskua paremmin ja pilkku tulee varmemmin oikeaan paikkaan.