MA9 Jakso 3: Avaruus­geometria

Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä \(\textsf{m}\)-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10, ja käyttämällä määrättyjä etuliitteitä, kuten milli-, sentti- tai kilo. Perusyksikköä metri lähimmät pituusyksiköt lyhenteineen on esitetty alla olevassa taulukossa.

Pinta-alan perusyksikkö on neliömetri, ja se lyhennetään merkinnällä \(\mathsf{m^2}\). Neliömetri syntyy, kun lasketaan neliön pinta-ala, jonka sivun pituus on yksi metri (\(\mathsf{1\;m \cdot 1\;m = 1\;m^2}\)). Vastaavasti neliösenttimetri saadaan kun lasketaan nelilön neliön pinta-ala, jonka sivun pituus on yksi senttimetri (\(\mathsf{1\;cm \cdot 1\;cm = 1\;cm^2}\)).

Pienempiä ja suurempia pinta-alayksiköitä saadaan siis kertomalla tai jakamalla luvulla 100, ja käyttämällä määrättyjä etuliitteitä, kuten pituusyksiköissä. Poikkeuksena on neliöhehtometri eli hehtaari sekä neliödekametri eli aari. Tärkeimmät pinta-alayksiköt lyhenteineen on esitetty alla olevassa taulukossa.

Kolmio

Suorakulmio

Suunnikas

Ympyrä

Sektori

Tilavuuden perusyksikkö on kuutiometri, ja se lyhennetään merkinnällä \(\mathsf{m^3}\). Kuutiometri syntyy, kun lasketaan pinta-ala kuutiolle, jonka sivun pituus on yksi metri (\(\mathsf{1\;m \cdot 1\;m \cdot 1\;m}\)). Pienempiä ja suurempia tilavuusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 1000, ja käyttämällä määrättyjä etuliitteitä, kuten pituusyksiköissä. Tärkeimmät tilavuusyksiköt lyhenteineen on esitetty alla olevissa taulukoissa.

Kuutiometrin ja sen kerrannaisten lisäksi tilavuutta voidaan mitata litroissa. Litra lyhennetään joko pienenä (l) tai isona L-kirjaimena (L). Käsin kirjoittaessa voidaan sekaannuksen välttämiseksi käyttää myös kaunokirjoitettua \(\ell\)-kirjainta (pieni L-kirjain). Litroja voidaan muuttaa kuten pituusyksiköitä pienempiin ja suurempiin kerrannaisiin kertomalla ja jakamalla luvulla 10. Litroissa käytetään samoja etuliitteitä kuin muissakin SI-järjestelmän yksiköissä, esimerkiksi desilitra (dl, dL), senttilitra (cl, cL) tai millilitra (ml, mL). Edellä mainitut ovat yleisimmin käytössä olevat vetomitat, eikä esimerkiksi kilolitroista (kl, kL) puhuta, vaikka se periaattessa mahdollinen yksikkö olisikin.

Litra on määritelty siten, että se vastaa tilavuudeltaan yhtä kuutiodesimetriä.

\(\mathsf{1\;l = 1\;dm^3}\)

Kuutiodesimetrin (dm³) tuhannesosa on kuutiosenttimetri (cm³) ja litran tuhannesosa on millilitra, joten yksi millilitra vastaa yhtä kuutiosenttimetriä

\(\mathsf{1\;ml = 1\;cm^3}\)

Muutoin vetomitat lähinnä tarkentavat tilavuusyksiköitä ja näin ollen helpottavat mittaamista.

Lieriöllä on kaksi yhtenevää ja yhdenmuotoista pohjaa sekä niiden välissä oleva vaippa. Pohjien välistä etäisyyttä kutsutaan lieriön korkeudeksi. Suorassa lieriössä pohjat ovat samalla kohtaa, muutoin lieriö on vino.

Kartiolla on yksi pohja, josta lähtevä vaippa kapenee tasaisesti kohti huippua. Huipun ja pohjan välistä kohtisuoraa etäisyyttä kutsutaan kartion korkeudeksi. Kartio voi myös olla suora tai vino.

Pallo on kappale, jonka pisteet ovat säteen r etäisyydellä keskipisteestä. Kun pallo halkaistaa kahteen yhtä suureen osaan, muodostuvaa leikkauspintaa kutsutaan isoympyräksi. Isoympyrän kehän pituus on yhtä suuri kuin pallon ympärysmitta. Esimerkiksi maapallolla tätä ympärysmittaa kutsutaan päiväntasaajaksi.

Kun kolmiulotteisia kappaleita piirretään kaksiulotteiselle paperille täytyy aina tehdä päätös miten syvyysvaikutelma luodaan. Taiteen ja tieteen tarkoituksia varten on luotu useita erilaisia perspektiivejä ja projektioita. Matematiikan käyttötarkoitusta palvelee parhaiten ns. yhdensuuntaisprojektiot, joista helpoin on kavaljeeriprojektio.

Suorakulmainen särmiö kavaljeeriprojektiolla

Kavaljeeriprojektiossa kolmiulotteisen kappaleen syvyysvaikutus saadaan piirtämällä syvyyteen piirrettävät viivat 45 asteen kulmassa etutasoon nähden ja jakamalla pituudet kahdella. Yksinkertaisin kappale kavaljeeriprojektion avulla piirrettäväksi on suorakulmainen särmiö.

Ympyrälieriön piirtäminen

Ympyrälieriössä syvyysvaikutelma saadaan siten, että ympyrän muotoiset pohjat piirretään soikioina eli matemaattisemmin ilmaistuna ellipsinä. Ellipsin leveys eli pohjaympyrän säde mitataan tarkasti , mutta ellipsin "pulleuden" voi piirtäjä valita vapaasti. Mitä pulleampi ellipsi, sitä ylempää kappaletta katsotaan.

Lieriön tilavuus lasketaan kertomalla lieriön pohjan pinta-ala \(\mathsf{A_p}\) lieriön korkeudella \(\mathsf{h}\). Tämä pätee niin suoralle kuin vinollekkin lieriölle.

Lieriön pinta-ala saadaan kun kaikki pinnat lasketaan yhteen. Lieriön pinta koostuu kahdesta pohjasta \(\mathsf{A_p}\) sekä vaipasta \(\mathsf{A_v}\). Tarkempiin laskukaavoihin tutustutaan erilaisten kappaleiden yhteydessä seuraavissa luvuissa.

Tilavuus

Särmiön pohja on monikulmio. Pohjan muodosta riippuen käytetään joko lieriön tilavuuden yleistä muotoa tai suorakulmaiselle särmiölle ja kuutiolle hieman pidemmälle johdettua laskukaavaa.

Pinta-ala

Suoran särmiön vaippa koostuu suorakulmion muotoisista tahkoista, joiden lukumäärä määräytyy pohjamonikulmion sivujen lukumäärän mukaisesti. Vinolla särmiöllä osa tahkoista on suunnikkaan muotoisia. Vaipan pinta-alaa laskettaessa tulee tahkojen pinta-alat selvittää tapauskohtaisesti erikseen, eikä mitään yleispätevää laskukaavaa kannata antaa kuin suorakulmaiselle särmiölle ja kuutiolle.

Tilavuus

Ympyrälieriön pohja on nimensä mukaisesti ympyrä.

Pinta-ala

Suoran ympyrälieriön vaippa on tasoon levitettynä suorakulmion muotoinen. Suorakulmion korkeus on sama kuin lieriön korkeus. Suorakulmion leveys on sama kuin pohjaympyrän kehän pituus.

Kartion tilavuus on kolmasosa lieriöstä, jolla on sama pohjan pinta-ala ja korkeus. Kartio voi olla suora tai vino.

Kartion pinta-ala koostuu pohjan pinta-alasta \(\mathsf{A_p}\) ja vaipan pinta-alasta \(\mathsf{A_v}\).

Kartiot voidaan pohja muodon perusteella luokitella samaan tapaan kuin lieriötkin. Ympyräkartion pohja on ympyrä ja monikulmiopohjaisista kartioista käytetään yleisnimitystä pyramidi. Vaipan muoto tasoon levitettynä riippuu pohjan muodosta. Ympyräkartiolla vaippa on sektorin muotoinen ja pyramidin vaippa koostuu kolmioista.

Tilavuus

Pyramidin pohja on monikulmio. Kartion tilavuuden yleisellä kaavalla pärjää varsin hyvin, mutta malliksi on johdettu myös suorakulmio- ja neliöpohjaiselle pyramdille omat laskukaavat.

Pinta-ala

Pyramidin vaippa koostuu kolmioista, joiden lukumäärä riippuu pohjan sivujen lukumäärästä ja muoto huipun sijainnista suhteessa pohjaan. Jos pyramidi on suora, niin vaipan kolmiot ovat tasakylkisiä, mutta vinolla pyramidilla voivat kolmiot olla millaisia kolmioita tahansa. Animaatiossa on esitetty neliöpohjaisen pyramidin pinta-alan laskeminen. Huomaa, että vaipan kolmioiden (tahkojen) korkeus \(\mathsf{h_t}\) ei ole sama kuin kolmion korkeus \(\mathsf{h}\).

Tilavuus

Ympyräkartion pohja on ympyrä, joten ympyrän pinta-alan kaavan voi sijoittaa tilavuuden laskukaavaan pohjan pinta-alan paikalle.

Pinta-ala

Ympyräkartion vaippa on ympyräsektori, jonka säde on ympyräkartion sivujanan pituus. Sivujana on jana, joka kulkee huipulta pohjaympyrän kehälle. Yhdistämällä ympyrän kehän pituuden sekä sektorin kaaren pituuden ja pinta-alan laskukaavat, voidaan ympyräkartion vaipan pinta-alalle johtaa melko siisti laskulauseke.

Vaipan pinta-alan laskukaavan johtaminen

Vaippa on siis sektorin muotoinen, jonka säde on kartion sivujana \(\mathsf{s}\). Keskuskulman määrittäminen kartiosta on vaikeaa, joten pyritään pääsemään siitä eroon. Käytetään hyväksi tietoa, että sektorin kaaren pituus \(\mathsf{b}\) on yhtä pitkä kuin pohjaympyrän kehän pituus \(\mathsf{p = 2\pi r}\).

\(\require{cancel}\begin{align}\mathsf{b} &= \mathsf{p}\\ \mathsf{\dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \cancel{2\pi} s} &= \mathsf{\cancel{2\pi} r} &&\mathsf{\| : s}\\ \mathsf{\dfrac{\alpha}{360^\circ}} &= \mathsf{\dfrac{r}{s}}\end{align}\)

Sijoitetaan sektorin pinta-alan laskukaavaan \(\mathsf{\dfrac{\alpha}{360^\circ}}\) paikalle edellä johdettu \(\mathsf{\dfrac{r}{s}}\) ja sievennetään lauseke.